Mean-Variance Frontier and Beta Representations

5.1 Expected Return-Beta Representations

实证分析框架中，经常使用线性因子定价模型的期望收益-贝塔表示 $$ E(R^i)=\gamma+\beta_{i.a}\lambda_a+\beta_{i.b}\lambda_b+\cdots\qquad i=1,2,\dots,N \tag{5.1} $$ 其中的系数$\beta$被定义为收益率对因子收益的多元回归的回归系数，即 $$ R^i_t=\alpha_i+\beta_{i,a}f^a_t+\beta_{i,b}f^b_t+\cdots+\varepsilon^i_t\qquad t=1,2,\dots,T \tag{5.2} $$ 式(5.2)是时间序列回归，其中的因子$f$是边际效用增长的代理变量，并且应注意到回归中期望收益和因子的角标是同期的，因此这个公式只是度量收益与同期风险暴露的关系，不是一个预测未来收益的模型。

式(5.1)表示的是截面上的期望收益，与时间无关。式(5.1)意味着贝塔越大的资产，平均收益越高，因此贝塔是解释变量，随资产不同而不同。而$\gamma$和$\lambda$对各个资产都是相同的，他们是横截面回归的截距和斜率。$\beta_{i,a}$被解释为资产$i$在风险因子$a$上的暴露，$\lambda_{i,a}$被解释为该风险暴露的价格。估计式(5.1)中自由参数$(\gamma,\lambda)$的一种方法是用平均收益对贝塔进行横截面回归， $$ E(R^i)=\gamma+\beta_{i.a}\lambda_a+\beta_{i.b}\lambda_b+\cdots+\alpha_i\qquad i=1,2,\dots,N \tag{5.3} $$ 其中$\beta_i$为解释变量，$\gamma$和$\lambda$是横截面回归的截距和斜率，$\alpha_i$是定价误差，其应当在统计上不显著、在经济上足够小。

特别注意，贝塔不能是资产特征或公司特征变量。 尽管资产特征或公司特征变量确实与资产收益率相关，但这些相关性应当用贝塔回归的回归系数来解释，而不是作为贝塔本身。合适的贝塔必须是能够在横截面回归中度量某些特征的变量。（举一个反例，小市值公司的平均收益率会更高，但如果用市值作为贝塔，那么投资者对一只市值较大的基金要求的收益率会较低，这只基金可以化整为零投资大量的小市值公司，那么该基金就可以以较低的资金成本从小市值公司获得较高的收益，这显然不会发生在现实中。事实上，这只基金的表现应当等于小市值公司的资产组合，该基金的贝塔应当等于小市值公司的高贝塔。）简单来说，资产的收益应当取决于“你的表现如何”而不是“你是谁”，只有这样才能保证简单的资产打包不会破坏市场均衡。

一些常见的特殊案例

对于无风险利率，式(5.1)中的贝塔全部为0，截距应当等于无风险利率 $$ R^f=\gamma $$ 由此，在估计式(5.3)的时候可以直接取$\gamma$等于无风险利率，而不用估计$\gamma$。如果市场中没有无风险利率，那么$\gamma$必须通过参数估计产生。由于$\gamma$等于全部贝塔为0时的收益，因此$\gamma$也被称为（期望）零贝塔利率。（该结论在无条件期望下成立，在条件期望下无风险利率是可变的，但基于给定时刻$t$的全部信息，该式仍成立。）
有时会直接使用超额收益检验因子定价模型。利用式(5.1)对两收益$R^{ei}=R^i-R^j$进行差分，其中$R^j$并不一定是无风险利率，可得 $$ E(R^{ei})=\beta_{i.a}\lambda_a+\beta_{i.b}\lambda_b+\cdots\qquad i=1,2,\dots,N \tag{5.4} $$ 其中$\beta_{i,a}$表示超额收益对因子的回归系数。
很多时候也会使用收益率或超额收益来作为因子。在这种情况下，等号右边的$\lambda$等于作为因子的收益率，不需要再进行横截面估计。由于因子模型对作为因子的收益率本身也成立，所以在等号左边带入作为因子的收益率时，等号右边的贝塔中，只有该因子的贝塔为1，其他因子的贝塔均为0。当因子是超额收益率时，可得$E(f^a)=\lambda_a$，从而可以重写因子模型为 $$ E(R^{ei})=\beta_{i.a}E(f^a)+\beta_{i.b}E(f^b)+\cdots\qquad i=1,2,\dots,N \tag{5.5} $$
贝塔定价模型等式是对期望收益的限制，限制了时间序列中截距项。式(5.2)允许不同资产的时间序列有不同的截距，但是式(5.1)限制不同资产的截距必须相等。当使用超额收益作为因子时，这种限制更加简单：时间序列回归的截距项被限制为0。这样一来，式(5.5)中$E(f)$是超额收益的期望，$\beta_i$来自截距为0的时间序列回归，从而完全避免了进行横截面回归（已无自由变量）。

5.2 Mean-Variance Frontier: Intuition and Lagrangian Characterization

均方前沿是给定一组资产后可构造的资产组合在均值-标准差图像中的边界。

对于全体风险资产，均方前沿呈现双曲线的形状；在加入无风险资产后，均方前沿呈现楔形；风险资产前沿在均方前沿的楔形内部。部分学者将均方前沿代指楔形的上半部分，将整个楔形称为最小方差前沿。通常无风险利率在双曲线渐进线的下方，或者说在低于风险资产前沿最小方差点的位置，否则以均方前沿为的目标的投资者将无限购买风险资产并卖空无风险资产，因此这不是一个均衡状态。


图 5.1

生成均方前沿的资产风险相关性越低（风险越分散），均方前沿的左侧越向左侧突出（在给定收益下的最小方差可以更低，此即分散风险的好处）。当存在无风险资产时，此即相关性为0时的特例，风险前沿成为尖锐的楔形。

定理： 只要资产收益的协方差矩阵非奇异的，即存在均方前沿。

证明在下一小节中进行。因为一价定律的成立，我们可以从支付空间中剔除冗余的向量而不影响定价函数，因此协方差矩阵必然是非奇异的。因此，一价定律同时保证了折现因子的存在和均方前沿的存在。

Lagrangian Approach to Mean-Variance Frontier

问题：记资产收益率构成的向量为$R$，将其期望记为$E$，有$E=E(R)$，将其协方差矩阵记为$\Sigma$，有$\Sigma=E[(R-E)(R-E)']$。一个资产组合按照权重$w$来构建，权重的总和为1，即$w'1=1$，资产组合的收益率为$wR$。问题为“给定收益的均值，构建一个资产组合使方差最小化”，数学表达式为 $$ \min_{{w}}w'\Sigma w\qquad s.t. \quad w'E=\mu\quad w'1=1 \tag{5.6} $$

答案：定义 $$ A=E'\Sigma^{-1}E\quad B=E'\Sigma^{-1}1\quad C=1'\Sigma^{-1}1 $$ 在给定均值为$\mu$时，最小化的方差为 $$ var(R^p)=\frac{C\mu^2-2B\mu+A}{AC-B^2}\tag{5.7} $$ 并且此时各个资产的权重为 $$ w=\Sigma\frac{E(C\mu-B)+1(A-B\mu)}{AC-B^2} $$

从式(5.7)可以看出，方差是均值的二次函数，抛物线的平方根是双曲线，这就是图5.1中用双曲线表示风险资产的均方前沿的原因。另外，最小方差组合在一些定理中作为特例存在，也用于某些统计量，该组合可以通过选择$\mu$使式(5.7)最小化得到，此时有$\mu^{\min var}=B/C$，权重$w$为$1/C$，或者表示为$w=\Sigma^{-1}1/(1'\Sigma^{-1}1)$。

在第一章曾经分析过，均方前沿上任意的资产组合可以用均方前沿上任意两个组合表示，即可以由两个均方前沿上的任意两个组合张成均方前沿。注意到$w$是$\mu$的线性函数，对于均方前沿上任意两个组合，若其权重分别为$w_1$和$w_2$，期望收益分别为$\mu_1$和$\mu_2$，那么对于第三个期望收益为$\mu_3=\lambda\mu_1+(1-\lambda)\mu_2$的资产组合，权重为$w_3=\lambda w_1+(1-\lambda) w_2$。

推导：使用$2\lambda$和$2\delta$作为拉格朗日乘子，分别应用在式(5.6)的两个约束之上，得到一阶条件 $$ \Sigma w-\lambda E-\delta 1=0 $$ 有 $$ w=\Sigma^{-1}(\lambda E+\delta 1) \tag{5.8} $$ 带入约束条件 $$ E'w=E'\Sigma^{-1}(\lambda E+\delta 1)=\mu $$ $$ 1'w=1'\Sigma^{-1}(\lambda E+\delta 1)=1 $$ 表示为矩阵

\[\begin{bmatrix}E'\Sigma^{-1}E&E'\Sigma^{-1}1\\1'\Sigma^{-1}E&1'\Sigma^{-1}1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mu\\1\end{bmatrix}\]

或者

\[\begin{bmatrix}A&B\\ B&C\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda\\\delta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mu\\1\end{bmatrix}\]

解得 $$ \lambda=\frac{C\mu-B}{AC-B^2} $$ $$ \delta=\frac{A-B\mu}{AC-B^2} $$ 带入式(5.8)可得权重矩阵，进而可得对应的方差。

5.3 An Orthogonal Characterization of the Mean-Variance Frontier

从支付空间的角度得到均方前沿的方法。

Definitions of $R^$,$R^{e}$

定义两个特殊的收益率。首先，将$R^*$定义为可以作为折现因子的支付$x^*$对应的收益率，由于支付$x^*$有$p(x^*)=E(x^*x^*)$，因此定义 $$ R^*=\frac{x^*}{p(x^*)}=\frac{x^*}{E(x^{*2})} \tag{5.9} $$ 另外定义收益率$R^{e*}$为单位向量$1$在$\underline{R^e}$空间中的投影，$\underline{R^e}$空间是超额收益构成的空间，即 $$ \begin{align*} R^{e*}&=proj(1|\underline{R^e})\\ \underline{R^e}&={x\in \underline{X}\quad s.t.\ p(x)=0} \end{align*}\tag{5.10} $$

为什么这里会有一个看似拼凑出来的$R^{e*}$？如同在前一小节求解均方前沿时，我们给定期望为$\mu$求解最小方差一样，现在我们也需要一个收益率，加减该收益率以调整期望值。注意到对任意超额收益率$E(R^e)$有 $$ E(R^e)=E(1\times R^e)=E[proj(1|\underline{R^e})\times R^e]=E(R^{e*}R^e) $$ 所以，所有满足条件$E(R^e)=c$的收益率构成一个等期望的超平面，$R^{e*}$正是该超平面的法向量，在任意收益率上加减$R^{e*}$，可以在最快的方向上调节收益率的期望。

现在可以对收益率进行正交分解了。

定理：对任意收益率$R^i$，都可以表示为 $$ R^i=R^*+w^iR^{e*}+n^i $$ 其中$w^i$是一个数字，$n^i$是期望为0的超额收益率，即 $$ E(n^i)=0 $$ 这三个元素相互之间是正交的 $$ E(R^*R^{e*})=E(R^*n^i)=E(R^{e*}n^i)=0 $$

由这一定理，我们可以迅速得到均方前沿。

定理：$R^{mv}$在均方前沿上当且仅当 $$ R^{mv}=R^*+wR^{e*} \tag{5.11} $$ 其中$w$为实数。

因为$E(R^{e*})\neq 0$，所以调整$w$改变了$R^{mv}$的期望和方差。（风险中性的市场是一个例外，在风险中性下$p(R^e)=E(R^e)=0$，单位向量$1$是超额收益空间的法向量，$proj(1|\underline{R^e})$坍缩为$0$向量，均方前沿坍缩为一个点$R^*$。）

Graphical Construction

首先梳理一下等期望平面和等价格平面。在$\mathcal{R}^S$空间中，对于与单位向量$1$垂直的某一平面$E^c$，其中任意一点都有相同的期望，即$\forall y\in E^c$都有$E(y)=E(1\times y)=c$，$E^c$为一等期望平面。在$\mathcal{R}^S$空间的子集$\underline{X}$中，有唯一的折现因子$x^*$，（在$\underline{X}$中）对于与$x^*$向量垂直的某一平面$P^c$，其中任意一点都有相同的价格，即$\forall x\in P^c$都有$p(x)=E(x^*\times x)=c$，$P^c$为一等价格平面。在众多的等价格平面中，有两个特殊的平面，一个是价格为0的平面，此即超额收益平面，记为$\underline{R^e}$，另一个是价格为1的平面，此即收益率平面，记为$\underline{R}$。

现在假设等期望平面和等价格平面相交，讨论交线（交平面）和单位向量投影的关系。假设平面$E^c$与平面$\underline{R^e}$相交于直线（平面）$l^c$，那么直线（平面）$l^c$上任意一点，既在平面$\underline{R^e}$内，价格都是0；也在平面$P^c$内，期望都是$c$。将$l^c$上一点记为$R^{ec}$，那么有 $$ E(R^{ec})=E(1\times R^{ec})=E[proj(1|\underline{R^e})\times R^{ec}]=c $$ 即单位向量$1$在平面$\underline{R^e}$内的投影与直线（平面）$l^c$垂直，$l^c$是平面$\underline{R^e}$内的等期望线（平面）。

当然，等期望平面和等价格平面不相交的情况是存在的，此即风险中性。等期望平面和等价格平面不相交（平行）时，两者有相同的法向量，单位向量$1$和折现因子$x^*$平行，$R^*=1$，$p(R^e)=E(R^e)=0$，此时为风险中性。


图 5.2

现在回到图5.2中。$R^{e*}$是最接近单位向量$1$的超额收益率，在$\underline{R^e}$空间内期望收益率相等的点构成多条平行直线，如图中$E=0$和$E=1$所示，而$R^{e*}$与这些直线垂直。同时，$R^*$和折现因子方向相同，与超额收益率平面垂直。

$w$使$R^*+wR^{e*}$尽可能靠近$R^i$，进而使$R^*+wR^{e*}$垂直于$R^i-(R^*+wR^{e*})=n^i$，$E[(R^*+wR^{e*})n^i]=0$。由于$R^*$垂直于平面$\underline{R}$，$E(R^*n^i)=0$，故$R^{e*}$也应当垂直于$n^i$，$E(R^{e*}n^i)=0$。所以$R^{e*}$、$R^*$、$n^i$两两正交。另外注意到$p(n^i)=p(R^i-R^*-wR^{e*})=1-1-0=0$，所以$n^i$是个超额收益。

当$n^i=0$时，仅剩$R^*+wR^{e*}$，所有这样的收益率构成的均方前沿。因为$n^i$是垂直于$R^{e*}$的超额收益，$E(n^i)=E(R^{e*}n^i)=0$。在给定$E(R^i)=E(R^*+wR^{e*}+n^i)=E(R^*+wR^{e*})=\mu$时，有$E(R^{i2})=E(R^{*2}+w^2R^{e*2}+n^{i2})$，$\sigma^2(R^i)=E(R^{i2})-E(R^i)^2=E(R^{i2})-\mu^2$，因此只有在$n^i=0$时$\sigma^2(R^i)$为最小值。

Algebraic Argument

证明：从定义式(5.9)和式(5.10)出发，由于$R^{e*}$是超额收益，$R^*$与超额收益$R^{e*}$正交，有 $$ E(R^*R^{e*})=0 $$

定义$n^i=R^i-R^*-w^iR^{e*}$，取$w^i$使$n^i$与$R^*$和$R^{e*}$正交。

由于$p(n^i)=p(R^i-R^*-w^iR^{e*})=0$，$n^i$是一个超额收益率，从而$n^i$与$R^*$正交，有 $$ E(R^*n^i)=0 $$

由于$n^i$是一个超额收益率，有$E(n^i)=E(R^{e*}n^i)$。因此$E(n^i)=0$的充要条件是$E(R^{e*}n^i)=0$。

最后，为了使$E(n^i)=0$，有$E(n^i)=E(R^i-R^*-w^iR^{e*})=0$，整理得 $$ w^i=\frac{E(R^i)-E(R^*)}{E(R^{e*})} $$

以上分解构建完成后，均方前沿就显而易见了。因为$E(n^i)=0$并且$n^i$、$R^*$和$R^{e*}$两两正交，有 $$ E(R^i)=E(R^*)+w^iE(R^{e*}) $$ $$ \sigma^2(R^i)=\sigma^2(R^*+w^iR^{e*})+\sigma^2(n^i) $$ 因此，对于给定的平均收益，有唯一的$w^i$。而$n^i=0$的收益率在给定的平均收益下有最小方差。

Decomposition in Mean-Variance Space

从状态空间回到均方空间，从另一个视角看上述分解，如图5.3所示。

首先，$R^*$是所有收益率中二阶矩最小的。事实上，从最小二乘回归的角度看，最小化$R^*$的长度（从收益率平面中寻找距离原点最近的点）等同于使$R^*$正交于超额收益平面。

（注意，$R^*$并不是所有收益率中方差最小的，因为 $$ \begin{align*} E(R^i) & =E(R^*)+w^iE(R^{e*})\\ E(R^{i2}) & =E(R^{*2}+w^{i2}R^{e*2}+n^{i2})\\ \sigma^2(R^i) & =E(R^{i2})-E(R^i)^2 \end{align*} $$ 显然当$w^i=0$且$n^i=0$时，二阶矩最小，此时$R^i=R^*$；注意到$\sigma^2(R^i)$是$w^i$的二次函数，其中有$w^i$的1次项，因此在$w^i=0$时并非最小值。）


图 5.3

在均方平面上，具有相同二阶矩的点在圆周上。依据状态空间中期望的定义，二阶矩$E(R^{i2})=R^i\cdot R^i$。故在均方图像中，二阶矩即图像中一点到原点的长度平方。所以，以原点为圆心画圆，在与收益率集合相交的圆中取半径最小的圆，$R^*$为该圆与收益率集合的交点。$R^*$的位置在均方前沿抛物线的下半部分，通常这一部分的均方前沿被认为是“无效的”。

增加更多的$R^{e*}$使收益率在均方前沿上移动，增加更多的$n$不改变均值，但会增加方差，使资产收益率水平移动、远离均方前沿，使异质性风险增加。

5.4 Spanning the Mean-Variance Frontier

由式(5.11)，均方前沿上的任意两点均都是$R^*$和$R^{e*}$的线性组合，由此可以使用这两点构建出其他$R^*$和$R^{e*}$的线性组合，即张成均方前沿。

例如，对于任意的$R^\alpha=R^*+\gamma R^{e*}$，可解得 $$ R^{e*}=\frac{R^\alpha-R^*}{\gamma} $$ 那么任意均方前沿资产组合可以表示为 $$ \begin{align*}R^*+w R^{e*}&=R^*+y(R^\alpha-R^*)\\&=(1-y)R^*+yR^\alpha\end{align*} \tag{5.13} $$ 其中$y=w/\gamma$。

通常情况下，会选择使用无风险收益率而不是$R^{e*}$来张成均方前沿。当无风险利率存在时，无风险资产在均方前沿上，并且可以表示为$\(R^f=R^*+R^fR^{e*}$\)后文中的式(5.20)将证明该结论。由此，在式(5.13)中使用$R^\alpha=R^f$。

在无风险利率不存在时，参照6.5章节，会选择使用：零贝塔收益（与$R^*$线性无关的收益率），恒定模拟组合（在收益率中距离单位支付$1$最近的收益率，$\hat{R}=proj(1|\underline{X})/p[proj(1|\underline{X})]$），最小方差收益。

5.5 A Compilation of Properties of $R^$, $R^{e}$, and $x^*$

$$ E(R^{*2})=\frac{1}{E(x^{*2})} \tag{5.14} $$ 由于$R^*=x^*/E(x^{*2})$，故$x^*=R^*E(x^{*2})$，对于收益率$R^*$有$1=E(x^*R^*)$，从而$1=E(R^{*2})E(x^{*2})$，整理得式(5.14)。
$$ x^*=\frac{R^*}{E(R^{*2})} \tag{5.15} $$ （与$R^*$的定义式相反，此式使用$R^*$反推出了$x^*$。）由于$R^*=x^*/E(x^{*2})$，将式(5.14)带入即可得到式(5.15)。
由式(5.15)，$R^*$和$x^*$一样也可以用于定价。从式(5.15)式，有 $$ p(x)=E(x^*x)=\frac{E(R^*x)}{E(R^{*2})}\quad\forall x\in\underline{X} $$ 特别地，对于收益率来说有 $$ E(R^{*2})=E(R^*R)\quad \forall R\in\underline{R} \tag{5.16} $$ 此式可以视作是$R^*$的一个性质。
$R^{e*}$以内积的形式给出了$\underline{R^e}$上的期望值，这类似于$x^*$以内积的形式给出$\underline{X}$上的价格。$R^{e*}$正交于$\underline{R^e}$内的等期望平面，正如同$x^*$垂直于$\underline{X}$内的等价格平面。从代数上，类似于$p(x)=E(x^*x)$，有 $$ E(R^e)=E(R^{e*}R^e) \quad \forall R^e \in \underline{R^e} \tag{5.17} $$
若无风险利率存在，那么可以从$R^*$构建$R^f$，即 $$ R^f=\frac{1}{E(x^*)}=\frac{E(R^{*2})}{E(R^*)} \tag{5.18} $$ 将$R^f$带入式(5.16)即得式(5.18)。
$R^{e*}$和$R^*$正交，即$E(R^*R^{e*})=0$。事实上，$R^*$正交于所有的超额收益。
均方前沿由式$R^{mv}=R^*+wR^{e*}$（式(5.11)）给出。条件均方前沿允许$w$随着条件信息集变移动，无条件均方前沿要求$w$为一个常数。详见第8章。
$R^*$是最小二阶矩的收益率（5.3节已论述）。
$R^{e*}$的一阶矩和二阶矩相等 $$ E(R^{e*})=E(R^{e*2}) $$ 在式(5.17)中取$R^e=R^{e*}$即可得到该结果。因此，有 $$ var(R^{e*})=E(R^{e*2})-E(R^{e*})^2=E(R^{e*})[1-E(R^{e*})] $$
当无风险利率存在时（单位支付$1$在$\underline{X}$中），$R^{e*}$可以被定义为单位支付$1$在$R^*$上投影的残差 $$ R^{e*}=1-proj(1|R^*)=1-\frac{E(R^*)}{E(R^{*2})}R^*=1-\frac{1}{R^f}R^* \tag{5.19} $$ 若用代数方法证明该结论，由于$R^*$和$\underline{R^e}$正交并一同张成$\underline{X}$，有$1=proj(1|\underline{R^e})+proj(1|R^*)=R^{e*}+proj(1|R^*)$。等式的后半段可由式(5.18)得到。
从式(5.19)可以看出，$R^f$的分解为 $$ R^f=R^*+R^fR^{e*} \tag{5.20} $$ 由于无风险收益率的方差是零，所以其是均方前沿和纵轴的唯一交点。通常情况下$R^f>1$，所以$R^*+R^{e*}$的收益率略低于$R^f$，其位置应当在均方前沿下半部分、$R^f$稍右侧一点的地方。当$R^f=1$时，单位向量$1$就是无风险收益，单位向量$1$位于收益率平面内部，有$R^f=R^*+R^{e*}$成立。通常来说，收益率平面应当在单位向量$1$上面一点点（见图5.2），当把单位向量$1$延长到$R^f$的长度、到达收益率平面时，实际上是延长了$R^{e*}$，再加上不变的$R^*$，从而到达$R^f$。
当无风险利率不存在时，$1$不在$\underline{X}$中（根据支付空间的定义，其延长线也不会进入支付空间，从而得不到延长后的$R^f$）。此时可以使用 $$ proj(1|\underline{X})=proj(proj(1|\underline{X})|\underline{R^e})+proj(proj(1|\underline{X})|R^*)=proj(1|\underline{R^e})+proj(1|R^*) $$ 此时有与式(5.19)相似的表达式 $$ R^{e*}=proj(1|\underline{X})-proj(1|R^*)=proj(1|\underline{X})-\frac{E(R^*)}{E(R^{*2})}R^* \tag{5.21} $$
在章节4.1，使用基础资产构建了$x^*$，即$x^*=p'E(xx')^{-1}x$。$R^*$也可以由此构建 $$ R^*=\frac{x^*}{p(x^*)}=\frac{p'E(xx')^{-1}x}{p'E(xx')^{-1}p} $$ 其中分母源自于$p(x^*)=E(x^*x^{*\prime})$。
在章节5.3，大量讨论过$R^{e*}$在$\underline{R^e}$中的性质（正交于等期望线）与$x^*$在$\underline{X}$中的性质（正交于等价格线）的相似性，由此可以用类似于章节4.1中$x^*=p'E(xx')^{-1}x$的方法得到$R^{e*}$，即 $$ R^{e*}=E(R^e)'E(R^eR^{e\prime})^{-1}R^e $$ 如果无风险利率存在，可以使用式(5.19)得到$R^{e*}$，即 $$ R^{e*}=1-\frac{1}{R^f}R^*=1-\frac{1}{R^f}\frac{x^*}{p(x^*)}=1-\frac{1}{R^f}\frac{p'E(xx')^{-1}x}{p'E(xx')^{-1}p} $$ 当无风险利率不存在时，可以使用式(5.21)得到$R^{e*}$，即 $$ R^{e*}=proj(1|\underline{X})-\frac{E(R^*)}{E(R^{*2})}R^*=E(x)'E(xx')^{-1}x-\frac{E(R^*)}{E(R^{*2})}R^* $$ 其中$R^*=\frac{p'E(xx')^{-1}x}{p'E(xx')^{-1}p}$。

5.6 Mean-Variance Frontiers for Discount Factors: The Hansen-Jagannathan Bounds

由 $$ 0=E(mR^e)=E(m)E(R^e)+\rho_{m,R^e}\sigma(m)\sigma(R^e) $$ 有 $$ \frac{\sigma(m)}{E(m)}\geq \frac{|E(R^e)|}{\sigma(R^e)} \tag{5.23} $$ 注意到式(5.23)右侧是夏普比率，因此在要解释股票溢价之谜，在随机折现因子的期望接近于1（$E(m)=1/R^f$，现实中无风险利率总是在1附近）的时候需要一个波动性非常高的折现因子。


图 5.4

现在，讨论$\{E(m),\sigma(m)\}$的取值范围（Hansen-Jagannathan Bounds）。如图5.4，在均方前沿图像中，当无风险利率不存在时，从纵轴（期望收益轴）$1/E(m)$处出发做均方前沿的切线，总能找到夏普比率最大的点，此时夏普比率就是对应的$\sigma(m)/E(m)$的下限。随着$1/E(m)$逐渐上移，夏普比率最大点的夏普比率（切线斜率）逐渐变小，直到$1/E(m)$等于最小方差组合的收益率（此时经过纵轴$1/E(m)$点的任意直线不可能与均方前沿相切）。随后若继续上移$1/E(m)$，从$1/E(m)$出发做均方前沿的切线，切点在均方前沿的下半部分，夏普比率为负，其绝对值随$1/E(m)$的上移不断增大。

当无风险利率存在时，$E(m)$是确定并唯一的（等于无风险利率的倒数），均方前沿呈V型，$\{E(m),\sigma(m)\}$的取值范围实际上是方差的界限。

从而在夏普比率和折现因子的波动性之间，存在如下关系 $$ \min_{定价x\in X的全体m}\frac{\sigma(m)}{E(m)}=\max_{\underline{X}中的全体超额收益R^e}\frac{E(R^e)}{\sigma(R^e)} \tag{5.24} $$

仿照式(4.2)，可以得到 $$ m=E(m)+[p-E(m)E(x)]'\Sigma^{-1}[x-E(x)]+\varepsilon \tag{5.25} $$ 其中$\Sigma=cov(x,x')$，$E(\varepsilon)=0$，$E(\varepsilon x)=0$。

（可以将$m=x^*+\varepsilon$带入式(5.25)左右两侧，由式(4.2)可得式(5.25)左右两侧相等。式(4.2)为$x^*=E(x^*)+[p-E(x^*)E(x)]'\Sigma^{-1}[x-E(x)]$，其中$\Sigma=E([x-E(x)][x-E(x)]')$。）

由于$\sigma^2(\varepsilon)>0$，因此有 $$ \sigma^2(m)\geq {[p-E(x^*)E(x)]'\Sigma^{-1}[x-E(x)]}{[p-E(x^*)E(x)]'\Sigma^{-1}[x-E(x)]}' $$ 即 $$ \sigma^2(m)\geq [p-E(x^*)E(x)]'\Sigma^{-1}[p-E(x^*)E(x)] \tag{5.26} $$

因此，所有资产收益都在$\{E(R),\sigma(R)\}$平面上的双曲线区域内，所有折现因子都在$\{E(m),\sigma(m)\}$平面上的双曲线区域内。


图 5.5

由收益率分解与均方前沿的关系，可以类比折现因子也有类似的分解（见图5.5）。由于所有折现因子可以表示为$m=x^*+\varepsilon$且$\varepsilon \cdot x=0$，故所有的折现因子应当在垂直于$x^*$的平面内。记折现因子$m$构成的平面是$\underline{M}$，$x^*$是平面$\underline{M}$的法向量，且由于$x^* \in \underline{X}$，所以$\underline{X}$和$\underline{M}$正交。所有的折现因子都可以表示为 $$ m=x^*+we^*+n $$ 其中的$we^*$和$n$是对$\varepsilon$的拆分。

$e^*$是将单位向量1向$\underline{X}$中投影的残差，或者也可以表示为单位向量1向“超额$m$空间”（$m-x^*$空间，记为$\underline{E}$，由于$\varepsilon$是与任意支付正交的向量，其构成的空间$\underline{E}$与$\underline{X}$正交）中的投影。即 $$ e^*=1-proj(1|\underline{X})=proj(1|\underline{E}) $$ 在分解中$e^*$的作用是改变$m$的均值，正如同收益率分解中$R^{e*}$用于改变收益率的期望： $$ E(m-x^*)=E[1\times(m-x^*)]=E[proj(1|\underline{E})(m-x^*)] $$

最后，$n$定义为所有剩余部分，其均值为0，因为其既正交于1也正交于$\underline{X}$。

从而折现因子的均方前沿为 $$ m=x^*+we^* \tag{5.27} $$ 如果单位支付在支付空间中（即无风险利率存在），从代数运算来看，$p(1)=E(m)$，$E(m)$是确定的；从几何分解来看，$e^*$是将单位向量1向$\underline{X}$中投影的残差，因为单位向量1在$\underline{X}$中所以$e^*=0$，所以$m$中改变均值的部分为0，$E(m)=E(x^*)$是确定的。此时因为还有$n$的存在，所以有$\sigma^2(m)\geq \sigma^2(x^*)$，均方前沿坍缩为一点$x^*$。这与风险中性情况下的收益率分解类似，风险中性时$R^{e*}$为零，收益的均方前沿坍缩为$R^*$。

现在尝试构建式(5.27)。因为$x^*=p'E(xx')^{-1}x$，$1$在$\underline{X}$中的投影$proj(1|\underline{X})=E(x)'E(xx')^{-1}x$，从而$e^*=1-E(x)'E(xx')^{-1}x$。由此，方差最小的折现因子为 $$ m^*=x^*+we^*=p'E(xx')^{-1}x+w[1-E(x)'E(xx')^{-1}x] $$ 整理后有 $$ m^*=w+[p-wE(x)]'E(xx')^{-1}x \tag{5.28} $$ 随着$w$的变化，折现因子$m^*$在前沿上移动，均值和方差分别为 $$E(m^*)=w+[p-wE(x)]'E(xx')^{-1}E(x) $$ $$ \sigma^2(m^*)=[p-wE(x)]'cov(xx')^{-1}[p-wE(x)] $$ 这一前沿被称为Hansen-Jagannathan边界。

Mean-Variance Frontier and Beta Representations

5.1 Expected Return-Beta Representations

5.2 Mean-Variance Frontier: Intuition and Lagrangian Characterization

Lagrangian Approach to Mean-Variance Frontier

5.3 An Orthogonal Characterization of the Mean-Variance Frontier